Once again predicates and one sample of 23rd problem from VK's Informatics_100 News Wire

Original problem

On right hand side of equations we put 1 instead 0 to avoid 
building quite simple Mapping Method arrows diagrams.
The intend is to build more complicated ones  
   (x1^y1≡x2^y2) =>x3^y3=1
   (x3^y3=>x2^y2) =>x4^y4=1
   (x3^y3≡x4^y4) =>x5^y5=1
   (x5^y5=>x4^y4) =>x6^y6=1
Introduce double predicates zj=(xj)^(yj) . The power of zj truth set is 1 . 
Just one pair of bits {1,1}, the power of zj  false set is 3 . 
False set contains three pairs of bits {1,0; 0,1; 0,0}. 
In general utilizing of predicates for solving 23rd problem is described here
https://mapping-metod.blogspot.com/2019/07/blog-post.html

System itself
   (z1≡z2) =>z3 =1
   (z3=>z2) =>z4 =1
   (z3≡z4)=>z5 =1
   (z5=>z4) =>z6 =1
Notice that outgoing numbers should match powers of truth and false sets
of predicate zj 

    Advantages of predicates approach when solving 23rd problem.
    Consider a bit more complicated system kind of

    (x1^y1^z1≡x2^y2^z2) =>x3^y3^z3=1
    (x3^y3^z3=>x2^y2^z2) =>x4^y4^z4=1
    (x3^y3^z3≡x4^y4^z4) =>x5^y5^z5=1
    (x5^y5^z5=>x4^y4^z5) =>x6^y6^z6=1

    Introduce triple predicates zj=(xj)^(yj)^(zj) . The power of zj truth set is 1 . 
   Just one triple of bits {1,1,1}, the power of zj  false set is 7 . 

 Regarding predicates zj system keeps to stay the same
   (z1≡z2) =>z3 =1
   (z3=>z2) =>z4 =1
   (z3≡z4)=>z5 =1
   (z5=>z4) =>z6 =1
Notice that outgoing numbers should match powers of truth and false sets
of predicate zj 

    

Solution of System in Boolean variables kind of P233 with {x,y,z} variables in 08/2016 format

Исходная система

((((x1 =>y1) =>z1) =>x2 )=>y2) =>z2 =1
((((x2 =>y2) =>z2) =>x3) =>y3) =>z3 =1
((((x3 =>y3) =>z3) =>x4) =>y4) =>z4 =1
((((x4 =>y4) =>z4) =>x5) =>y5) =>z5 =1
((((x5 =>y5) =>z5) =>x6) =>y6) =>z6 =1
((((x6 =>y6) =>z6) =>x7) =>y7) =>z7 =1

Линии "0" и "1" определены по (x1=>y1)=>z1=0  и (x1=>y1)=>z1=1
Тройки бит {000,010,110} - линия "0" ; {001,011,100,101,111} - линия "1".  
Закономерность переходов в диаграмме, по факту определяется на битовых тройках. 
Но как только  правильная закономерность получена на битовых тройках можно      комфортно реплицировать одну и ту же процедуру в графике.

     Контроль по Полякову

  

Solution of System in Boolean variables cloning P233 to {x,y,z} variables in 08/2016 format

Исходная система

(((x1 =>y1 =>z1) =>x2 )=>y2) =>z2 =1
(((x2 =>y2 =>z2) =>x3) =>y3) =>z3 =1
(((x3 =>y3 =>z3) =>x4) =>y4) =>z4 =1
(((x4 =>y4 =>z4) =>x5) =>y5) =>z5 =1
(((x5 =>y5 =>z5) =>x6) =>y6) =>z6 =1
(((x6 =>y6 =>z6) =>x7) =>y7) =>z7 =1



Забываем то что сделано раньше
Эксперимент  Линии "0" и "1" определены по (x1=>y1)=>z1=0  и (x1=>y1)=>z1=1
Тройки бит {000,010,110} - линия "0" ; {001,011,100,101,111} - линия "1".  
Закономерность переходов в диаграмме, по факту определяется на битовых тройках. 
Но как только  правильная закономерность получена на битовых тройках можно        комфортно реплицировать одну и ту же процедуру в графике.

Solution of onе System in Boolean Variables in 08/2016 format from Informatics_100 VK's News Wire as of 27/08/2019

Once again a bunch of 23rd USE Informatics problems might be solved via 08/2016 technique rather then bits chains way 

 Original Source
 (x1 v x2)^(¬x1 v ¬x2)^(x1 v y1)=1
 (x2 v x3)^(¬x2 v ¬x3)^(x2 v y2)=1
 (x3 v x4)^(¬x3 v ¬x4)^(x3 v y3)=1
 (x4 v x5)^(¬x4 v ¬x5)^(x4 v y4)=1
 (x5 v x6)^(¬x5 v ¬x6)^(x5 v y5)=1
 (x6 v x7)^(¬x6 v ¬x7)^(x6 v y6)=1
 (x7 v y7)=1

Good knowledge of Algebra of Logic is required pretty often to simplify original system to the one which is obviously good for 08/2016 treatment.

Convert to equivalent due to  (x1 v x2)^(¬x1 v ¬x2) =  (x1^¬x2)v(x2^¬x1)=x1⊕x2
 (x1⊕x2)^(x1 v y1)=1
 (x2⊕x3)^(x2 v y2)=1
 (x3⊕x4)^(x3 v y3)=1
 (x4⊕x5)^(x4 v y4)=1
 (x5⊕x6)^(x5 v y5)=1
 (x6⊕x7)^(x6 v y6)=1
 (x7 v y7)=1

Fork  08/2016 chart

   

Predicates for segments on real axis

Теорема 1
Пусть P и Q два одноместных предиката, определенных
На множестеве Х любой природы.
Если ∀ x ∈ Х : P(x) => Q(x) = True (*),то область истинности 
предиката $(P) вложена в область истинности предиката $(Q)

Решение

   Определим предикаты
   Р(x) ={ 1: x ∈ [8,50] ;
                0: x !∈ [8,50] ;
       }
   Q(x) ={ 1: x ∈ [27;76];
                0: x !∈ [27;76];
       }
Найти наименьшую область истинности предиката А(x), 
такого что
∀ x∈ R : ¬A(x) => ¬(¬P(x)=>Q(x)) =1
∀ x∈ R : (¬P(x)=>Q(x)) => A(x)  =1
∀ x∈ R : (P(x) v Q(x)) => A(x)   = 1
По Теореме 1 импликация тождественна тогда и только
тогда, когда множество истинности $(PvQ) ⊂  $(A).
То есть минимальное $(A) = $(PvQ) 
 $(A)=$(PvQ) =$(P)∪$(Q) = [8,50]∪[27;76]= [8,76]

Solution of one new system of Boolean Equations with no transition triples in 08/2016 style as of 26/08/2019

Original system

(x1 v x2)*(((x1⊕x2)=>y1)=>z1)=1
(x2 v x3)*(((x2⊕x3)=>y2)=>z2)=1
(x3 v x4)*(((x3⊕x4)=>y3)=>z3)=1
(x4 v x5)*(((x4⊕x5)=>y4)=>z4)=1
(x5 v x6)*(x5 v y5 v z5)=1
(x6 v y6 v z6)=1

Fork 08/2016 chart
  

Решение одной известной системы в Булевских переменных в формате 08.2106

Рассмотри следующую систему

(x1+x2)*(x1*x2->y1)=1
(x2+x3)*(x2*x3->y2)=1
(x3+x4)*(x3*x4->y3)=1
(x4+x5)*(x4*x5->y4)=1
(x5+x6)*(x5*x6->y5)=1
(x6+x7)*(x6*x7->y6)=1
(x7+x8)*(x7+y7) =1

(x8+y8)=1

Строим диаграммы в стиле 08.2016

  Сравните трудо-затрыты с классически подходом 
 https://mapping-metod.blogspot.com/2019/05/8.html
 

Solution of one system of Boolean equations in 08.2016 format

Original system
((x1=>y1) =>z1) ^ ((x2 v y2 v z2) =>((x1≡y1)≡z1)) =1
((x2=>y2) =>z2) ^ ((x3 v y3 v z3) =>((x2≡y2)≡z2)) =1
((x3=>y3 )=>z3) ^ ((x4 v y4 v z4) =>((x3≡y3)≡z3)) =1
((x4=>y4) =>z4) ^ ((x5 v y5 v z5) =>((x4≡y4)≡z4)) =1
((x5=>y5) =>z5) ^ ((x6 v y6 v z6) =>((x5≡y5)≡z5)) =1
((x6=>y6) =>z6) ^ ((x7 v y7 v z7) =>((x6≡y6)≡z6)) =1
(x7≡y7)≡z7=1
****************************************
Consider the transmission on the line "0"
****************************************
((xj=yj)=zj) ======> !xj^!y^!z
True triples
((xj=yj)=zj) ===*3==> !xj*!yj*!zj
001                                 ==>110 
010                                 ==>101 
100                                 ==>011
111                                 ==>000
We obtain exactly ((xj = yj) = zj) four false triples
110 
101 
100 
111 
Thus, on the line "0" we transmit false triples
**************************************
Consider the transmission on the line "1"
**************************************
In the lower right node has total 24 triples. Notice that the left upper node gives diagonally 12 true bit triples, and the lower left node gives 12 false ones. The lower left node generates 12 triples that are not supposed to be transmitted (they are false). 12 bit triples from the upper left node give true triples and they are transmitted, 12 from the lower left node give 0 (stop on line 1)

Three "3" is the power of intersection of the truth regions (xj => yj) => zj and (xj≡yj) ≡zj
this is {001,100,111} = {001,011,100,101,111} ∩ {010,001,100,111}
Convert  implication     (x2 v y2 v z2) =>((x1≡y1)≡z1)  into  ((x1≡y1)≡z1) v  !x2^!y2^!z2
and so on

    All underlined passed Polyakov's control

   

Predicates for discrete sets and segments current problems on Informatics_100 News Wire as of 27/08/19

******************************************************************
Теорема 1
Пусть P и Q два одноместных предиката, определенных
На множестеве Х любой природы.
Если ∀ x ∈ Х : P(x) => Q(x) = True (*),то область истинности 
предиката $(P) вложена в область истинности предиката $(Q)

******************************************************************

 Решение
   Определим предикаты
   Р(x) ={ 1: x ∈ {2,4,6,8,10,12.14,16,18,20 } ;
        0: x !∈ {2,4,6,8,10,12.14,16,18,20 }
      }
   Q(x) ={ 1: x ∈ {3,6,9,12.15,18,21,24,27,30} ;
              0: x !∈ {3,6,9,12.15,18,21,24,27,30}
      }
Известно,что  ∀ x∈ N : (P(x) =>A(x)) v (!A(x) =>!Q(x))=1
Предполагая,что А предикат, имеющий дискретное множество истинности
найти наименьшую возможную сумму его элементов
Имеем 
      ∀ x∈ N : (P(x) =>A(x)) v (Q(x) =>A(x))=1
      ∀ x∈ N : (!P(x) v A(x)) v (!Q(x) v A(x))=1
      ∀ x∈ N : !P(x) v !Q(x) v A(x)=1
      ∀ x∈ N : !(P(x) ^ Q(x)) v A(x)=1
      ∀ x∈ N : (P(x) ^ Q(x))=>A(x)=1
Импликация тожественна тогда и только
тогда, когда множество истинности $(P^Q) ⊂  $(A).
То есть минимальное $(A) = $(P^Q) 
Пересечем множества 
{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 } ∩ {3,6,9,12.15,18,21,24,27,30} =
= {6,12,18}

Ответ 36

Сравни URL первого рабора https://vk.com/doc342403709_514914240?hash=2093efa522f66c8650&dl=8c479daad6e0542733
и решение полученное в Алгебре Предикатов , где Р(х) и Q(x) имеют , соответсвующие области истинности. Минимальная область истинности А(х) определяется решением.

Решение

   Определим предикаты
   Р(x) ={ 1: x ∈ [8,50] ;
                0: x !∈ [8,50] ;
       }
   Q(x) ={ 1: x ∈ [27;76];
                0: x !∈ [27;76];
       }
Найти наименьшую область истинности предиката А(x), 
такого что
∀ x∈ R : ¬A(x) => ¬(¬P(x)=>Q(x)) =1
∀ x∈ R : (¬P(x)=>Q(x)) => A(x)  =1
∀ x∈ R : (P(x) v Q(x)) => A(x)   = 1
По Теореме 1 импликация тождественна тогда и только
тогда, когда множество истинности $(PvQ) ⊂  $(A).
То есть минимальное $(A) = $(PvQ) 
 $(A)=$(PvQ) =$(P)∪$(Q) = [8,50]∪[27;76]= [8,76]

Answer is 68

Solution of systems of Boolean equations with three variables via format 08/2016

Система

(((x1≡y1)≡z1) v ((x2≡y2)≡z2)) ^ (x1 v y1 v z1)=1
(((x2≡y2)≡z2) v ((x3≡y3)≡z3)) ^ (x2 v y2 v z2)=1
(((x3≡y3)≡z3) v ((x4≡y4)≡z4)) ^ (x3 v y3 v z3)=1
(((x4≡y4)≡z4) v ((x5≡y5)≡z5)) ^ (x4 v y4 v z4)=1
(((x5≡y5)≡z5) v ((x6≡y6)≡z6)) ^ (x5 v y5 v z5)=1
(((x6≡y6)≡z6) v ((x7≡y7)≡z7)) ^ (x6 v y6 v z6)=1
(x7 v y7 v z7)=1

Решение в формате 08.2016

    Кортроль по Полякову

Решение в формате 08.2016 Задания #Т4888 ( тип 23 ЕГЭ Информатика ) из очереди для стрима Информатика БУ

Задание

Решение системы формате 08.2016

((x1 v y1)=>(x2 v y2)) ^ (x1=>y1)=1
((x2 v y2)=>(x3 v y3)) ^ (x2=>y2)=1
((x3 v y3)=>(x4 v y4)) ^ (x3=>y3)=1
((x4 v y4)=>(x5 v y5)) ^ (x4=>y4)=1
((x5 v y5)=>(x6 v y6)) ^ (x5=>y5)=1
((x6 v y6)=>(x7 v y7)) ^ (x6=>y6)=1
((x7 v y7)=>(x8 v y8)) ^ (x7=>y7)=1
(x8=>y8)=1